设矩阵A=（30001-1014）B=（36112-3）且满足AX=2X+B,求矩阵X

Question

设矩阵A=（3 0 0 0 1 -1 0 1 4 ）B=（3 6 1 1 2 -3 ）且满足AX=2X+B,求矩阵X

Answer 1

解矩阵方程 AX=B 的一般方法是
对矩阵 (A,B) 用初等行变换化为 (E,A^-1B),即 (E,X).
但此题A的逆可用特殊分块矩阵的方法直接计算
所以先计算A^-1反而方便.
因为 AX=2X+B
所以 (A-2E)X=B
A-2E=
1 0 0
0 -1 -1
0 1 2
(A-2E)^-1 =
1 0 0
0 -2 -1
0 1 1
所以 X=
3 6
-4 1
3 -2