若随机变量X在区间（0，θ）服从均匀分布，X1，X2…Xn是其样本，求：（1）θ的矩估计和极大似然估计．（2）判别他们的无偏性．

Question

若随机变量X在区间（0，θ）服从均匀分布，X₁，X₂…X_n是其样本，求：
（1）θ的矩估计和极大似然估计． 
（2）判别他们的无偏性．

Answer 1

（1）由于X在区间（0，θ）服从均匀分布，因此EX＝(θ)/(2)
令EX＝

.

X

，则θ＝2

.

X

，即θ的矩估计为

θ

＝2

.

X

又因为似然函数为
L（x₁，x₂，…，x_n；θ）=θ＝(1)/(θn)

n

π

i＝1

I(0＜Xi≤θ)，其中I(0＜xi≤θ)为示性函数
要使得似然函数达到最大，首先一点是示性函数取值应该为1，其次是(1)/(θn)应尽可能大
由于(1)/(θn)是θ的单调减函数，所以θ的取值应尽可能小，但示性函数决定了θ不能小于x_（n）
因此，θ的极大似然估计为

θ

＝x(n)
（2）∵E(2

.

X

)＝(2)/(n)•(n(θ)/(2))＝θ，即2

.

X

是θ的无偏估计．
E(X(n))＝(θ)/(2)≠x(n)，即x_（n）不是θ的无偏估计．