（2014•舟山三模）如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，侧面B1C1CB⊥底面ABC，且AC1⊥BC．（Ⅰ）求证：AC1⊥A1B；（Ⅱ）求二面角B1-AB-C的余弦值．

Question

（2014•舟山三模）如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为a，侧面B₁C₁CB⊥底面ABC，且AC₁⊥BC．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）求二面角B₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为a，
∴ACC₁A₁是菱形，
连结A₁C，由菱形性质得A₁C⊥AC₁，
又AC₁⊥BC，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵A₁B⊂平面A₁BC，∴AC₁⊥A₁B．
（Ⅱ）过A₁点作AE⊥AC，交AC于E，
∵侧面B₁C₁CB⊥底面ABC，
∴A₁E⊥BE，∴BE⊥AC，AE=EC=(1)/(2)a，
面A₁ACC₁⊥面A₁EB，∠BA₁C₁=90°
异面直线AC与BC₁所成角即为∠BC₁A₁，
由题意求出BC₁=(√(10))/(2)a，
∴cos∠BC₁A₁=(A1C1)/(BC1)=(a)/((√(10))/(2)a)=(√(10))/(5)．
∴二面角B₁-AB-C的余弦值为(√(10))/(5)．