直角三角形两直角边边长分别为3和4，将此三角形绕其斜边旋转一周，求得到的旋转体的表面积和体积．

Question

直角三角形两直角边边长分别为3和4，将此三角形绕其斜边旋转一周，求得到的旋转体的表面积和体积．

Answer 1

根据题意，所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成
它的底面半径等于直角三角形斜边上的高，高分别等于两条直角边在斜边的射影长
∵两直角边边长分别为3和4，
∴斜边长为√(32+42)=5，
由面积公式可得斜边上的高为h=(3×4)/(5)=(12)/(5)
可得所求旋转体的底面半径r=(12)/(5)
因此，两个圆锥的侧面积分别为
S_上侧面=π×(12)/(5)×4=(48π)/(5)；S_下侧面=π×(12)/(5)×3=(36π)/(5)
∴旋转体的表面积S=(48π)/(5)+(36π)/(5)=(84π)/(5)
由锥体的体积公式，可得旋转体的体积为V=(1)/(3)π×((12)/(5))2×5=(48π)/(5)