四棱锥在四棱锥P-ABCD中PAD垂直于ABCD且PAD为等边三角形AB平行于CDBD=2AD=8AB=2CD=4倍根号51取PC上一点M求MBD垂直于PDA?2求四棱锥体积

Question

四棱锥
在四棱锥P-ABCD中 PAD垂直于ABCD且PAD为等边三角形 AB平行于CD BD=2AD=8 AB=2CD=4倍根号5 1取PC上一点M 求MBD垂直于PDA?2求四棱锥体积

Answer 1

(1)
取AD的中点E,连接PE,则PE为三角形PAD的高.PE垂直于AD.
由于平面PAD垂直平面ABCD,故PE垂直平面ABCD(两平面垂直,其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面)
进而推出:PE垂直于BD.(1)
又在三角形ADB中AD^2+BD^2=16+64=80
AB^2=16*5=80
即:AD^2+BD^2=AB^2.知角:ADB=90度.
即BD垂直于AD.(2)
BD垂直于相交直线PE,AD.故BD垂直于平面PAD.
平面MDB经过直线BD,故平面MBD垂直于平面PDA
(过平面的垂线的平面,必垂直于这平面.)
(2)求体积:锥体的高:PE=2*根号3.
底面为梯形,其高即为三角形ADB斜边上的高DF.
由比例中线定理,得BD^2=AB*BF,
即:64=(4根号5)*BF,求出BF=16/根号5.
再由勾股定理,求出DF=8/根号5.
上底DC=2*根号5,下底AB=4*根号5.
底面积:S=0.5*[2*根号5 + 4*根号5]*8/根号5
=0.5*48=24.
故四棱锥的体积V=(1/3)*S*2*根号3=
=16*根号3.