如图,在半径为2,圆心角为π/4的扇形的AB弧上任取一点P,作扇形内接平行四边形MNPQ,点M,N,在OB上,设角BOP=θ,四边形面积为S求S与θ关系,及其S最大值相对应的θ

Question

如图,在半径为2,圆心角为π/4的扇形的AB弧上任取一点P,作扇形内接平行四边形MNPQ,点M,N,在OB上,设角BOP=θ,四边形面积为S求S与θ关系,及其S最大值相对应的θ

Answer 1

过P点作PL垂直于OB于L,过Q点作QH垂直于OB于H
则HL=QP=MN,QH=PL
OH=QH*ctg∠AOB=QH
OL=OP*cosθ
PL=OP*sinθ
于是
S=PL*MN
=OP*sinθ*(OP*cosθ-OP*sinθ)
=4sinθ*(cosθ-sinθ)
=4[(sin2θ)/2-(1-cos2θ)/2]
=2(sin2θ+cos2θ-1) （0＜θ＜45°）
则S=2(sin2θ+cos2θ-1) =2[√2sin(2θ+45°)-1]≤2√2-2
当S=2√2-2时,2θ+45°=90°,θ=22.5°