已知一三角形纸片abc,面积为48,bc边的长为12,∠b和∠c都为角锐角,M为AB边上一动点（M与点A,B不重合）.过点M作MN‖BC,交AC于点N,将△AMN沿MN折叠,使点A落在BC的下方.设MN=x,△次AMN与四边形BCMN重叠部

Question

已知一三角形纸片abc,面积为48,bc边的长为12,∠b和∠c都为角锐角,M为AB边上一动点（M
与点A,B不重合）.过点M作MN‖BC,交AC于点N,将△AMN沿MN折叠,使点A落在BC的下方.设MN=x,△次AMN与四边形BCMN重叠部分（阴影部分）的面积为y.（1）试求出y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时重叠部分的面积y最大,最大是多少?

Answer 1

⑴设梯形MNFE的高为h,EF长为m.△ABC中BC边上的高＝48÷12×2＝8,
由△A′MN、△A′EF均与△ABC相似,得x/12＝﹙8－h﹚/8；m/12＝﹙8－2h﹚/8,解得
h＝8－2/3x,m＝12－3h＝12－3﹙8－2/3x﹚＝12－24＋2x＝2x－12．所以
y＝1/2﹙x＋m﹚h＝1/2﹙x＋2x－12﹚﹙8－2/3x﹚＝﹣x²＋16x－48 ﹙ 6＜x＜12﹚
⑵由y＝﹣x²＋16x－48＝﹣﹙x－8﹚²＋16知
当x=8时 y最大 最大值为16．