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如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.(1)求证:BD=CD;(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.
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如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.

(1)求证:BD=CD;
(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.

(1)求证:BD=CD;
(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵AD为直径,AD⊥BC,
∴由垂径定理得:
=
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得:BD=CD.

(2) B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
理由:由(1)知:
=
,
∴∠1=∠2,
又∵∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴∠DBE=∠3+∠4,∠DEB=∠1+∠5,
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠4=∠5,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE.
由(1)知:BD=CD
∴DB=DE=DC.
∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.(7分)
∴由垂径定理得:
![]() |
BD |
![]() |
CD |
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得:BD=CD.

(2) B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
理由:由(1)知:
![]() |
BD |
![]() |
CD |
∴∠1=∠2,
又∵∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴∠DBE=∠3+∠4,∠DEB=∠1+∠5,
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠4=∠5,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE.
由(1)知:BD=CD
∴DB=DE=DC.
∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.(7分)
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