设A=（α1，α2，α3，α4）是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵．若（1，0，1，0）T是方程组AX=0的一个基础解系，则A*X=0的基础解系可为（）A．α1，α3B．α1，α2C．α1，α2，α3D．α2，α3，α4

Question

设A=（α₁，α₂，α₃，α₄）是4阶矩阵，A^*为A的伴随矩阵．若（1，0，1，0）^T是方程组AX=0的一个基础解系，则A^*X=0的基础解系可为（　　）

A．α₁，α₃
B．α₁，α₂
C．α₁，α₂，α₃
D．α₂，α₃，α₄

Answer 1

因为方程组Ax=0的基础解系中只有一个向量，
所以：r（A）=4-1=3，
从而：r（A^*）=1，
于是A^*X=0的基础解系中含3个线性无关的解向量，
又因为：Ax=0有非零解，
所以：|A|=0，
故：A^*A=|A|E=0，
从而α₁，α₂，α₃，α₄都是方程组A^*X=0的解，
又因为（1，0，1，0）^T是方程组AX=0的一个基础解系，
所以α₁，α₃线性相关，
因此α₂，α₃，α₄线性无关，
故α₂，α₃，α₄是A^*X=0的基础解系．
故选：D．