A为3阶对称矩阵，1，2，3为其特征值，则A的伴随矩阵A*与对角矩阵相似．

Question

A为3阶对称矩阵，1，2，3为其特征值，则A的伴随矩阵A^*与对角矩阵______相似．

Answer 1

设λ是A的任意特征值，α是其对应的特征向量，则Aα=λα
因此A^*Aα=λA^*α，即A*α＝(|A|)/(λ)α
由A为3阶对称矩阵，1，2，3为其特征值，知|A|=6
∴A*α＝(6)/(λ)α
即(6)/(λ)是A^*的特征值
∴A^*的特征值为6，3，2
∴三阶矩阵A^*有三个互不相同的特征值
∴A的伴随矩阵A^*与对角矩阵一定相似．