已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M（2π3，−2）．当x∈[π12，π2]时，则f（x）的

Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜(π)/(2)）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为(π)/(2)，且图象上一个最低点为M（(2π)/(3)，−2）．当x∈[(π)/(12)，(π)/(2)]时，则 f（x）的值域为（　　）

A．[-2，2]
B．[-2，1]
C．[-1，2]
D．[-1，1]

Answer 1

由题意得A=2，周期T=(2π)/(ω)=π，得ω=2，此时f（x）=2sin（2x+φ），
将M（(2π)/(3)，−2）代入上式得-2=2sin（(4π)/(3)+φ），
即sin（(4π)/(3)+φ）=-1，0＜φ＜(π)/(2)，
解得φ=(π)/(6)，所以f（x）=2sin（2x+(π)/(6)）；
因为x∈[(π)/(12)，(π)/(2)]，所以(π)/(3)≤2x+(π)/(6)≤(7π)/(6)，
所以，当且仅当2x+(π)/(6)=(π)/(2)，即x=(π)/(6)时，sin（2x+(π)/(6)）=1，
即有f（x）的最大值为2．
当且仅当2x+(π)/(6)=(7π)/(6)，即x=(π)/(2)时，sin（2x+(π)/(6)）=-1，
即有f（x）的最小值为-1．
所以函数的值域为[-1，2]．
故选C．