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(2014•闸北区一模)如图,已知等腰△ABC,AD是底边BC上的高,AD:DC=1:3,将△ADC绕着点D旋转,得△DEF,点A、C分别与点E、F对应,且EF与直线AB重合,设AC与DF相交于点O,则S△AOF:S△DOC=32453

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(2014•闸北区一模)如图,已知等腰△ABC,AD是底边BC上的高,AD:DC=1:3,将△ADC绕着点D旋转,得△DEF,点A、C分别与点E、F对应,且EF与直线AB重合,设AC与DF相交于点O,则S△AOF:S△DOC=
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▼优质解答
答案和解析
作DG⊥AB于G,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD,∠B=∠C.
设AD=x,则BD=3x,由勾股定理,得
AB=
10
x,
∴AC=
10
x.
AD•BD
2
AB•GD
2

x•3x
2
10
x•GD
2

∴GD=
3
10
x
10

AD
DC
=
1
3
=tan∠C.
∴tan∠B=
1
3

∵∠ADG+∠GAD=90°,∠B+∠GAD=90°,
∴∠ADG=∠B.
∴tan∠ADG=
AG
GD
1
3

AG
3
10
x
10
1
3

∴AG=
10
x
10

∵△FDE是由△CDA旋转得来的,
∴△FDE≌△CDA,
∴DE=DA.∠F=∠C.
∵DG⊥AB,
∴AG=EG.
∴AE=2AG,
∴AE=
10
x
5

∴AF=
10
x−
10
x
5
=
4
10
x
5

∵∠AOF=∠DOC,∠F=∠C,
∴△AFO∽△DCO,
∴S△AOF:S△DOC=(
AF
DC
)2=(
4
10
x
5
3x
2
=
32
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故答案为:
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