如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.（2012•临沂）如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物

Question

如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
（2012•临沂）如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标；若不存在,说明理由． 这个第三问,答案给的Y+2根号3的绝对值的平方是怎么求的.

Answer 1

（1）如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°,
∵∠AOB=120°,
∴∠BOC=60°,
又∵OA=OB=4,
∴OC= OB= ×4=2,BC=OB•sin60°=4× =2 ,
∴点B的坐标为（﹣2,﹣2 ）；
（2）∵抛物线过原点O和点A．B,
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A（4,0）,B（﹣2．﹣2 ）代入,得
 ,
解得 ,
∴此抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x
（3）存在,
如图,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为（2,y）,
①若OB=OP,（版权所有）
则22+|y|2=42,
解得y=±2 ,
当y=2 时,在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD= = ,
∴∠POD=60°,
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,
即P、O、B三点在同一直线上,
∴y=2 不符合题意,舍去,
∴点P的坐标为（2,﹣2 ）
②若OB=PB,则42+|y+2 |2=42,
解得y=﹣2 ,
故点P的坐标为（2,﹣2 ）,
③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2 |2,
解得y=﹣2 ,
故点P的坐标为（2,﹣2 ）,
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为（2,﹣2 ）,