过第一象限内点P(a,b)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当|PA|*|PB|取最小值时求直线l的方程设l：y-b=k（x-a）,要用基本不等式

Question

过第一象限内点P(a,b)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当|PA|*|PB|取最小值时
求直线l的方程
设l：y-b=k（x-a）,要用基本不等式

Answer 1

然后求出A B坐标：A(a-b/k,0),B(0,b-ak)
所以|PA|^2=b^2/k^2+b^2,|PB|^2=a^2+a^2k^2
(|PA||PB|)^2=(b^2/k^2+b^2)(a^2+a^2k^2)=a^2b^2/k^2+a^2b^2+a^2b^2+2a^2b^2k^2=2a^2b^2+a^2b^2(k^2+1/k^2)
k^2+1/k^2>=2根号（k^2*1/k^2)=2
当k^2=1/k^2时,等号成立,此时k=1或k=-1
由于直线过第一象限点,且与x,y正半轴相交,所以k=1舍去,即k=-1
所以l：y-b=-(x-a)
y=-x+a+b