如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F（1）求证：CE=CF；（2）求线段EF的最小值；（3）当点D

Question

如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F
（1）求证：CE=CF；
（2）求线段EF的最小值；
（3）当点D从点A运动到点B时，试求线段EF扫过的面积（直接写出结果）．

Answer 1

（1）证明：如图1，设AC于点DE交于点G，则EG=DG，且ED⊥AC，

∵DF⊥DE，
∴∠EGC=∠EDF=90°，
∴AC∥DF，且G为ED中点，
∴EC=FC；

（2）由（1）知，EF=2CD，
∴当线段EF最小时，线段CD也最小，
根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小，
∵AB是半圆O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴AC=4，BC=4√(3)，
当CD⊥AD时，CD=(1)/(2)BC=2√(3)，
此时EF=2CD=4√(3)，
即EF的最小值为4√(3)；

（3）当点D从点A运动到点B时，如图2，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍，

由（2）知AC=4，BC=4√(3)，
∴S_△ABC=(1)/(2)•AC•BC=(1)/(2)×4×4√(3)=8√(3)，
∴线段EF扫过的面积是16√(3)．