设A为n阶方阵,若A2=0,则A=0对还是错设A,B同为n阶矩阵,若AB=E,则必有BA=E

Question

设A为n阶方阵,若A2=0,则A=0对还是错
设A,B同为n阶矩阵,若AB=E,则必有BA=E

Answer 1

1.
你的A2=0,是不是A的平方的意思,即A^2,假如是这样：
分析：
A^2=A*A=0
两边取行列式：
｜A^2｜=｜A*A｜=｜A｜*｜A｜=0
得：｜A｜=0
一个矩阵的行列式=0,不一定有这个矩阵是0矩阵,如：
A=
1 1
1 1
有｜A｜=0,但A矩阵不是0矩阵.
所以原命题是错的.
2.
分析：
若AB=E,
得：｜AB｜=｜A｜｜B｜=1
得出,｜A｜不等于0,且｜B｜不等于0,
所以A,B这两个矩阵都可逆的.
因为A乘A的逆=E
所以A的逆就是B了,
同样,B的逆就是A了.
所以BA=A的逆*A=E
所以原命题是对的.