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设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．
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设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．
▼优质解答
答案和解析
因为A是n阶正定阵，所以其特征值均大于0．
设λ为A的一个特征值，ξ为对应与λ的一个特征向量，
则：（A+E）ξ=Aξ+ξ=λξ+ξ=（λ+1）ξ，
即λ+1为A+E的特征值．
注意到λ＞0，
故：A+E的特征值均大于1．
设A+E的特征值为：λ1，λ2，…，λn，
则 λi＞1，
从而：|A+E|=λ1λ2…λn＞1．
因为A是n阶正定阵，所以其特征值均大于0．
设λ为A的一个特征值，ξ为对应与λ的一个特征向量，
则：（A+E）ξ=Aξ+ξ=λξ+ξ=（λ+1）ξ，
即λ+1为A+E的特征值．
注意到λ＞0，
故：A+E的特征值均大于1．
设A+E的特征值为：λ1，λ2，…，λn，
则 λi＞1，
从而：|A+E|=λ1λ2…λn＞1．
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