设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a-3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为．

Question

设a为实数，函数f（x）=x³+ax²+（a-3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为______．

Answer 1

∵f（x）=x³+ax²+（a-3）x，
∴f′（x）=3x²+2ax+（a-3），
∵f′（x）是偶函数，
∴3（-x）²+2a（-x）+（a-3）=3x²+2ax+（a-3），
解得a=0，
∴f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3，则f（2）=2，k=f′（2）=9，
即切点为（2，2），切线的斜率为9，
∴切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0．
故答案为：9x-y-16=0．