f(x)=f(x)(1+|sinx|)f(0)=0设f(x)可导,F（x）=f(x)(1+|sinx|),若F（X）在点x=0处可导,则必有（?）刚才看到知道上有相同问题的解答但我认为是错的,因为在一点处的导数需要用定义做

Question

f(x)=f(x)(1+|sinx|) f(0)=0
设f(x)可导,F（x）=f(x)(1+|sinx|),若F（X）在点x=0处可导,则必有（?） 刚才看到知道上有相同问题的解答 但我认为是错的,因为在一点处的导数 需要用定义做

Answer 1

印象中这是同济版高数第六版的一个习题,好像是选择题,答案应该是：f(0)＝0
F(0)＝0,若F(x)在x＝0处可导,则左右导数存在且相等.
右导数＝lim(x→0+) (F(x)-F(0))/x＝lim(x→0+) [f(x)/x＋f(x)×sinx/x],第二部分的极限是f(0),所以第一部分的极限也应该存在,从而得lim(x→0+) f(x)＝0,所以f(0)＝0,所以F(x)在x＝0处的右导数＝f'(0)＋f(0)
同理,左导数＝f'(0)－f(0)
所以,f'(0)＋f(0)＝f'(0)－f(0),得f(0)＝0
所以,F(x)在x＝0处可导的必要条件是f(0)＝0
由上面的解题过程可以看出,f(0)＝0也是充分条件
所以,答案是：f(0)＝0