设函数f（x）在x=2的某邻域内可导，且f′（x）=ef（x），f（2）=1，则f‴（2）=．

Question

设函数f（x）在x=2的某邻域内可导，且f′（x）=e^f（x），f（2）=1，则f^‴（2）=______．

Answer 1

∵f'（x）=e^f（x），
∴f″（x）=[e^f（x）]′=e^f（x）•f'（x）=e^f（x）•e^f（x）=e^2f（x）
从而f′′′（x）=[f″（x）]′=[e^2f（x）]′=e^2f（x）•[2f（x）]′=e^2f（x）•2f′（x）=2e^2f（x）•e^f（x）=2e^3f（x）
又f（2）=1
故f′′′（2）=2e³