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设M、N为抛物线C:y=x^2上的两个动点,过M、N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A.B两点,AB=1,l1,l2交于点P求点p的方程求证:△MNP的面积是定值,并求出大小请给出详细说明,感激不尽
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设M、N为抛物线C:y=x^2上的两个动点,过M、N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A.B两点,AB=1,l1,l2交于点P
求点p的方程
求证:△MNP的面积是定值,并求出大小
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求点p的方程
求证:△MNP的面积是定值,并求出大小
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▼优质解答
答案和解析
设M的坐标为(x1,x1^2),N的坐标为(x2,x2^2)
在曲线y=x^2上的切线的斜率为此曲线的导数:k=y‘=2x
所以过M点的切线的斜率为:k1=2x1,同理得k2=2x2
所以经过M点的切线方程l1为:(y-x1^2)=2x1(x-x1),整理得:y=(2x1)x-x1^2
同理得经过N点的切线方程l2为:y=(2x2)x-x2^2
可知y=0时,即为A,B点的坐标,得A((x1)/2,0),B((x2)/2,0)
因为AB=1,可得|x1-x2|=2
点P的坐标为:(2x1)x-x1^2=(2x2)x-x2^2,得x=(x1+x2)/2,进一步得:y=x1*x2
对于P点坐标,有x1+x2=2x和x1*x2=y,整理得:
(x1+x2)^2-4x1*x2=(x1-x2)^2=2^2=4,代入得:
(2x)^2-4y=4
所以P点方程为:y=x^2-1
接下来求面积:
M(x1,x1^2),N(x2,x2^2),P((x1+x2)/2,x1*x2)
过MN的直线方程为:y-x1^2=((x2^2-x1^2)/(x2-x1))*(x-x1),得:y=(x1+x2)x-x1x2
P点到直线的距离(三角形的高)为:h=|(x1+x2)*((x1+x2)/2)-x1x2-x1x2|/sqrt((x1+x2)^2+(-1)^2)
得h=((x1-x2)^2/2)/sqrt((x1+x2)^2+1)
由于|x1-x2|=2,所以h=2/sqrt((x1+x2)^2+1)
MN的距离为:a=sqrt((x1-x2)^2+(x1^2-x2^2)^2)
同理代入|x1-x2|=2得:
a=2*sqrt((x1+x2)^2+1)
三角形面积为S=0.5*a*h=0.5*2*sqrt((x1+x2)^2+1)*2/sqrt((x1+x2)^2+1)=2为定值.
在曲线y=x^2上的切线的斜率为此曲线的导数:k=y‘=2x
所以过M点的切线的斜率为:k1=2x1,同理得k2=2x2
所以经过M点的切线方程l1为:(y-x1^2)=2x1(x-x1),整理得:y=(2x1)x-x1^2
同理得经过N点的切线方程l2为:y=(2x2)x-x2^2
可知y=0时,即为A,B点的坐标,得A((x1)/2,0),B((x2)/2,0)
因为AB=1,可得|x1-x2|=2
点P的坐标为:(2x1)x-x1^2=(2x2)x-x2^2,得x=(x1+x2)/2,进一步得:y=x1*x2
对于P点坐标,有x1+x2=2x和x1*x2=y,整理得:
(x1+x2)^2-4x1*x2=(x1-x2)^2=2^2=4,代入得:
(2x)^2-4y=4
所以P点方程为:y=x^2-1
接下来求面积:
M(x1,x1^2),N(x2,x2^2),P((x1+x2)/2,x1*x2)
过MN的直线方程为:y-x1^2=((x2^2-x1^2)/(x2-x1))*(x-x1),得:y=(x1+x2)x-x1x2
P点到直线的距离(三角形的高)为:h=|(x1+x2)*((x1+x2)/2)-x1x2-x1x2|/sqrt((x1+x2)^2+(-1)^2)
得h=((x1-x2)^2/2)/sqrt((x1+x2)^2+1)
由于|x1-x2|=2,所以h=2/sqrt((x1+x2)^2+1)
MN的距离为:a=sqrt((x1-x2)^2+(x1^2-x2^2)^2)
同理代入|x1-x2|=2得:
a=2*sqrt((x1+x2)^2+1)
三角形面积为S=0.5*a*h=0.5*2*sqrt((x1+x2)^2+1)*2/sqrt((x1+x2)^2+1)=2为定值.
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