设函数f（x）在[0，1]上连续，且∫10f（x）=dx=0．试证至少存在一点ξ∈（0，1），使f（ξ）+f（1-ξ）=0．

Question

设函数f（x）在[0，1]上连续，且

∫

1 0

f（x）=dx=0．试证至少存在一点ξ∈（0，1），使f（ξ）+f（1-ξ）=0．

Answer 1

证明：令 F(x)＝

∫

x 0

f(t)dt−

∫

1−x 0

f(t)dt，则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导．
因为F′（x）=f（x）+f（1-x），且F（0）=F（1）=0，
从而由罗尔中值定理知，至少存在一点ξ∈（0，1），使F′（ξ）=0，
即：f（ξ）+f（1-ξ）=0．