设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若f（x）≥ax+a2−72恒成立，求实数a的取值范围．

Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥ax+(a)/(2)−(7)/(2)恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得f(x)＝

−x−4(x＜−(1)/(2))

3x−2(−(1)/(2)≤x≤3)

x+4(x＞3)

所以 f（x）在(−∞，−(1)/(2))上单调递减，
在(−(1)/(2)，+∞)上单调递增．
所以当x＝−(1)/(2)时y=f（x）取得最小值，
此时f(x)min＝−(7)/(2)；
（2）由（1）及g(x)＝ax+(a)/(2)−(7)/(2)，
可知y=g（x）恒过点过(−(1)/(2)，−(7)/(2))，
由图象可知-1≤a≤1．