设f(x)在(－∞,＋∞)内可导,且F(x)=f(x^2-1)+f(1-x^2),证明F'(1)=F'(－1)

Question

设f(x)在(－∞,＋∞)内可导,且F(x)=f(x^2-1)+f(1-x^2),证明F'(1)=F'(－1)

Answer 1

F(x)=f(x^2-1)+f(1-x^2),
F(1)=f(1^2-1)+f(1-1^2)=2f(0),
F(-1)=f((-1)^2-1)+f(1-(-1)^2)=2f(0),
F'(1)=lim(x→0)[F(1+x)-F(1)]/x=lim(x→0)[f[(1+x)^2-1]+f[1-(1+x)^2]-2f(0)]/x
F'(-1)=lim(x→0)[F(-1+x)-F(1)]/x=lim(x→0)[f[(-1+x)^2-1]+f[1-(-1+x)^2]-2f(0)]/x (令t=-x)
=lim(t→0)[f[(-1-t)^2-1]+f[1-(-1-t)^2]-2f(0)]/(-t)=lim(t→0)[f[(1+x)^2-1]+f[1-(1+x)^2]-2f(0)]/(-t)
=-lim(t→0)[f[(1+x)^2-1]+f[1-(1+x)^2]-2f(0)]/t (令x=t)
=-lim(x→0)[f[(1+x)^2-1]+f[1-(1+x)^2]-2f(0)]/x
=-F(1)
即F(-1)=-F(1)
我感觉应该是负的,不应该是正的,因为F(x)是偶函数,关于y轴对称,单调性是相反的,即导数的符号式相反的~