设f(x)+f((x-1)/x)=2x,其中x不等于0且x不等于1求f(x)

Question

设f(x)+f( (x-1)/x )=2x,其中x不等于0且x不等于1 求f(x)

Answer 1

已知
（1）f(x) + f(1-1/x) = 2x,
接下来,用1-1/x代替x写入（1）式,可知
（2）f(1-1/x) + f(1/(1-x)) = 2(1-1/x),
然后,用1/(1-x)代替x写入（1）式,我们有
（3）f(1/(1-x)) + f(x) = 2(1/(1-x)),
通过观察,我们知道（1）（2）（3）等式左边的f(x)、f(1-1/x)、f(1/(1-x))各出现了2次,所以,把这三个等式左右各自叠加起来我们有
2*[f(x) + f(1-1/x) + f(1/(1-x))] = 2*[x + (1-1/x) + (1/(1-x))]
所以有,
（4）f(x) + f(1-1/x) + f(1/(1-x)) = x + (1-1/x) + (1/(1-x))
利用（4）减去（2）,我们立即可以得到
f(x) = x - (1-1/x) + (1/(1-x)) = x-1 + 1/x + 1/(1-x)