高数设函数f(x)在实轴上连续,f'(0)存在,且具有性质f(x+y)=f(x)f(y),试求出f(x)如题

Question

【高数】设函数f(x)在实轴上连续,f'(0)存在,且具有性质f(x+y)=f(x)f(y),试求出f(x)
如题

Answer 1

f(0+0)=f(0)*f(0),f(0)=0 or 1因为f(x)连续,所以f(x+dx)-f(x)=f(x)f(dx)-f(x)=f(x)(f(dx)-1)f(x)(f(dx)-1)趋向于f(x)(f(0)-1),任取x,此式应趋向于0,因此f(0)=1（这段你要证明的话用极限定义,不要先取前面的趋向于f(x)(f(0)-1)）随后,由f(x+dx)-f(x)=f(x)(f(dx)-1)两边除以dx,并且因为f(x)在0点可导,f'(x)=f(x)f'(0),推出f(x)=f'(0)x+c,c为常数,由f(0)=1代入,得c=1.同时f(x-x)=f(x)f(-x)=1,则f'(0)=0因此f(x)=1,常值函数