设函数f(x)=(1+x)^2-2ln(1+x).①若当x∈[1/e-1,e-1]时,（其中e=2.718...）不等式f(x)∠m恒成立,求实数m的取值范围.②试讨论关于x的方程f(x)=x^2+x+a在区间[0,2]上的根的个数.

Question

设函数f(x)=(1+x)^2-2ln(1+x).
①若当x∈[1/e-1,e-1]时,（其中e=2.718...）不等式f(x)∠m恒成立,求实数m的取值范围
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②试讨论关于x的方程f(x)=x^2+x+a在区间[0,2]上的根的个数.

Answer 1

（1）对f（x）求导得出
f（x）’=2*（1+x）-2*1/（1+x） （x＞-1）
令f（x）’＞0 求得x＞0、
令f（x）’＜0,求得x＜0
所以f（x）在（-1,0】上单调递减 在（0,正无穷大）上单调递增
则在x∈[1/e-1,e-1]内,f（x）是单调递增的 要使得f（x）＜m恒成立,只要使得f（x）在x∈[1/e-1,e-1]内的最大值Fmax＜m Fmax=f（e-1）=e²-2 所以m的取值范围为m＞e²-2
（2）由题意可知
1+2x+x²-2ln（1+x）=x²+x+a 化简→ （x+1-a）=2ln（1+x）
令y1=（x+1-a） y2=2ln（1+x） 则只需求出y1.y2在【0.2】内的交点即可
底数函数确实忘记了一点.但是思路是这样的没错,希望可以帮到你.