在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos2C＝1−8b2a2．（1）求1tanA+1tanC的值；（2）若tanB＝815，求tanA及tanC的值．

Question

在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且cos2C＝1−(8b2)/(a2)．
（1）求(1)/(tanA)+(1)/(tanC)的值；
（2）若tanB＝(8)/(15)，求tanA及tanC的值．

Answer 1

（1）∵cos2C＝1−(8b2)/(a2)，cos2C=1-2sin²C，
∴sin2C＝(4b2)/(a2)，
∵C为三角形内角，∴sinC＞0，
∴sinC＝(2b)/(a)，
∵(a)/(sinA)＝(b)/(sinB)，∴(b)/(a)＝(sinB)/(sinA)，
∴sinC=(2sinB)/(sinA)，即2sinB=sinAsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，
∵sinA•sinC≠0，
∴(1)/(tanA)+(1)/(tanC)＝(1)/(2)；
（2）∵(1)/(tanA)+(1)/(tanC)＝(1)/(2)，
∴tanA＝(2tanC)/(tanC−2)，
∵A+B+C=π，
∴tanB＝−tan(A+C)＝−(tanA+tanC)/(1−tanAtanC)＝(tan2C)/(2tan2C−tanC+2)．
∴(8)/(15)＝(tan2C)/(2tan2C−tanC+2)，
整理得tan²C-8tanC+16=0，
解得：tanC=4，
将tanC=4代入得：tanA＝(2tanC)/(tanC−2)=4．