6个人坐在一排10个座位上，问（1）空位不相邻的坐法有多少种？（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？

Question

6个人坐在一排10个座位上，问
（1）空位不相邻的坐法有多少种？
（2）4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？

Answer 1

6个人排有A ₆ ⁶ 种，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．
（1）空位不相邻相当于将4个空位安插在上述个“间隔”中，有C ₇ ⁴ =35种插法，
故空位不相邻的坐法有A ₆ ⁶ C ₇ ⁴ =25200种．
（2）将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插
有A ₇ ² 种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A ₆ ⁶ A ₇ ² =30240种．
（3）4个空位至多有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻有C ₇ ⁴ 种坐法；
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C ₇ ¹ C ₆ ² 种坐法；
③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C ₇ ² 种坐法．
综合上述，应有A ₆ ⁶ （C ₇ ⁴ +C ₇ ¹ C ₆ ² +C ₇ ² ）=115920种坐法．