（2006•北京模拟）设矩阵A=11a1a1a11，β=11-2，已知线性方程组AX=β有解但不唯一，试求：（1）a的值；（2）正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

Question

（2006•北京模拟）设矩阵A=

1	1	a
1	a	1
a	1	1

，β=

1

1

-2

，已知线性方程组AX=β有解但不唯一，试求：
（1）a的值；
（2）正交矩阵Q，使Q^TAQ为对角矩阵．

Answer 1

（1）
对线性方程组AX=β的增广矩阵作初等变换，有：

.

A

=

1	1	a	1
1	a	1	1
a	1	1	-2

→

1	1	a	1
0	a-1	1-a	0
0	0	(a+2)(a-1)	a+2

，
因为方程组AX=β有解但不唯一，
所以：r（

.

A

）=r（A）＜3，
故：a=-2．

（2）
由上面可知：
A=

1	1	-2
1	-2	1
-2	1	1

，
A的特征多项式：

.

λE-A

.

=λ(λ-3)(λ+3)，
故A的特征值为：
λ₁=3，λ₂=-3，λ₃=0，
特征值对应的特征向量依次为：
α1=(1，0，-1)T，α2=(1，-2，1)T，α3=(1，1，1)T
由于他们是三个不同