如图，在区域Ⅰ（0≤x≤d）和区域Ⅱ（d≤x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面．一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的

Question

如图，在区域Ⅰ（0≤x≤d）和区域Ⅱ（d≤x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面．一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域I，其速度方向沿x轴正向．已知a在离开区域I时，速度方向与x轴正方向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从p点沿x轴正向射入区域I，其速度大小是a的(1)/(3)．不计重力和两粒子之间的相互作用力．求
（1）粒子a射入区域I时速度的大小；
（2）b粒子比a粒子晚多少时间飞离磁场．

Answer 1

（1）设粒子a在I内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为R_a1，粒子速率为v_a，
运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P'，粒子运动轨迹如图所示：

粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvaB＝m(v2a)/(Ra1)  ①
由几何关系得：∠PCP'=θ  ②Ra1＝(d)/(sinθ)=2d  ③
其中：θ=30°，由①②③式解得：va＝(2dqB)/(m)  ④
（2）设粒子a在II内做圆周运动的圆心为O_n，半径为R_a2，
射出点为P_a（图中末画出轨迹），∠P'O_nP_a=θ′．
由牛顿第二定律得：qva(2B)＝m(v2a)/(Ra2) ⑤，
由①⑤式得：Ra2＝(Ra1)/(2)=d ⑥
设b在I中运动的轨道半径为R_b1，
由牛顿第二定律得：q((va)/(3))B＝(m)/(Rb1)((va)/(3))2  ⑨解得：Rb1＝(Ra1)/(3)，
设a到达P_a点时，b位于P_b点，转过的角度为α．如果b没有飞出I，
则(t)/(Ta2)＝(θ′)/(2π)  ⑩(t)/(Tb1)＝(α)/(2π)（11）
t是a在区域II中运动的时间，而：Ta2＝(2πRa2)/(v)  （12）Tb1＝(2πRb1)/(v/3) （13）
由⑤⑨⑩（11）（12）（13）式解得：α=30°（14）
由①③⑨（14）式可见，a到达P_a点时，b没有飞出I．
a飞出II后，设b继续在I中运动t时间飞出磁场：t＝(π−(π)/(6))/(2π)•T＝(5T)/(12)
又：T＝(2πr)/(v)=(2πm)/(eB)，解得：t＝(5T)/(12)＝(5)/(12)•(2πm)/(eB)＝(5πm)/(6eB)；
答：（1）粒子a射入区域I时速度的大小为(2dqB)/(m)；
（2）b粒子比a粒子晚(5πm)/(6eB)飞离磁场．