设f（t）在[1，+∞）上有连续二阶导数，且f（1）=0，f′（1）=1，z=（x2+y2）f（x2+y2）满足∂2z∂x2+∂2z∂y2=0，求f（x）在[1，+∞）上的最大值．

Question

设f（t）在[1，+∞）上有连续二阶导数，且f（1）=0，f′（1）=1，z=（x²+y²）f（x²+y²）满足(∂2z)/(∂x2)+(∂2z)/(∂y2)=0，求f（x）在[1，+∞）上的最大值．

Answer 1

令t=x²+y²，则z=z（t）=tf（t），从而，
(∂z)/(∂x)=z′（t）•2x，
(∂2z)/(∂x2)=4x²z″（t）+2z′（t），
(∂z)/(∂y)=z′（t）•2y，
(∂2z)/(∂y2)=4y²z″（t）+2z′（t），
故
0=(∂2z)/(∂x2)+(∂2z)/(∂y2) 
=4（x²+y²）z″（t）+4z′（t）
=4tz″（t）+4z′（t），
即：tz″（t）+z′（t）=0．①
因为z（1）=f（1）=0，
z′（1）=f（1）+f′（1）=1，
由①求解可得，
z（t）=lnt，
从而，f（t）=(z(t))/(t)=(lnt)/(t)．
令f′（t）=(1−lnt)/(t2)=0 可得，
t=e．
又因为f″（t）=-(1)/(t3)-(2t(1−lnt))/(t3)，
f″（e）＜0，
故f（t）在t=e处取得最大值，最大值为
f（e）=(1)/(e)．