设X1，X2，…，Xn（n＞2）为来自总体N（0，σ2）的简单随机样本，.X为样本均值，记Yi＝Xi−.X，i＝1，2，…，n．求：（Ⅰ）Yi的方差DYi，i=1，2，…，n；（Ⅱ）Y1与Yn的协方差Cov（Y1，Yn）．（

Question

设X₁，X₂，…，X_n（n＞2）为来自总体N（0，σ²）的简单随机样本，

.

X

为样本均值，记Yi＝Xi−

.

X

，i＝1，2，…，n．
求：（Ⅰ） Y_i的方差DY_i，i=1，2，…，n；
（Ⅱ）Y₁与Y_n的协方差Cov（Y₁，Y_n）．
（Ⅲ）P{Y₁+Y_n≤0}．

Answer 1

由题设，知X₁，X₂，…，X_n（n＞2）相互独立，且EXi＝0，DXi＝σ2(i＝1，2，…，n)，E

.

X

＝0．
（I）DYi＝D(Xi−

.

X

)＝D[(1−(1)/(n))Xi−(1)/(n)

n

j≠i

Xj]
=(1−(1)/(n))2DXi+(1)/(n2)

n

j≠i

DXj
=((n−1)2)/(n2)σ2+(1)/(n2)•(n−1)σ2＝(n−1)/(n)σ2．
（ II）  Cov（Y₁，Y_n）=E[（Y₁-EY₁）（Y_n-EY_n）]
=E(Y1Yn)＝E[(X1−

.

X

)(Xn−

.

X

)]
=E(X1Xn−X1

.

X

−Xn

.

X

+

.

X

2)
=E(X1Xn)−2E(X1

.

X

)+E

.

X

2
=0−(2)/(n)E[

X

2 1

+

n

j＝2

X1Xj]+D

.

X

+(E

.

X

)2
=−(2)/(n)σ2+(1)/(n)σ2＝−(1)/(n)σ2．
（ III）  Y1+Yn＝X1−

.

X

+Xn−

.

X

=(n−2)/(n)X1−(2)/(n)

n−1

i＝2

Xi+(n−2)/(n)Xn，
上式是相互独立的正态随机变量的线性组合，所以Y₁+Y_n服从正态分布，
由于E（Y₁+Y_n）=0，
故 P{Y₁+Y_n≤0}=(1)/(2)．