高等数学对于芝诺悖论的基本解释是什么?主要是关于二分法悖论的,以及阿基里斯追龟悖论的.希望能说得通俗易懂,让不懂数学的人也能理解.另外,最好不是你自己独创的见解,而是当代数学界

Question

高等数学对于芝诺悖论的基本解释是什么?
主要是关于二分法悖论的,以及阿基里斯追龟悖论的.希望能说得通俗易懂,让不懂数学的人也能理解.另外,最好不是你自己独创的见解,而是当代数学界公认的见解,但你在列举这样的见解后,可以说明一下你自己的见解.
我希望能有真正的懂得高等数学的朋友来回答。
我想知道的是：
数学界是否公认这个悖论已经破解了？
数学界公认的破解思路是什么？
最好能给出权威的资料。

Answer 1

追龟:
时空是否可以无限分割芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度.原来,我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的.如太阳每天的东升西落,月亮的圆缺变化,一年四季的推移,钟摆的运动等等.人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的.芝诺悖论中除了普通的钟以外,还有另一种很特别的“钟”,就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环.用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”.例如,当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时,芝诺时记为n,这样,在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟后面.但是在我们的钟表上,假如阿基里斯跑完AB(即100米)用了1分钟,那么他跑完BC只要6秒钟,跑完CD只需 0.6秒,实际上,他只需要1 1/9分钟就可以追上乌龟了.因此,芝诺悖论的产生原因,是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象.在芝诺时达到无限后,正常计时仍可以进行,只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了.这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的,运动也不是连续的.
二分法悖论
【二分法悖论内容】
Zeno 在访问雅典时发明了四个悖论,构成了一堵铁墙,阻挡了一切进步的可能.二分法悖论是其中之一：运动是不可能的,因为物体在到达终点之前必须先到达路程的二分之一,而在到达二分之一之前必须到达路程的四分之一,无穷无尽,甚至运动永远无法开始.
有人说,二分法悖论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔.这种观点正确吗?当然不正确.
为了说明为什么不正确,让我们先来看看什么是二分法悖论?芝诺假设,当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一以至可以无穷的划分下去.因此,这个物体永远也到达不了D.芝诺的二分法悖论说要从A运动到B必先至其中点C,而至C之前又必先至AC中点D,如此无限倒退,则运动不可能.但仔细考虑好像此悖论并不存在.首先,芝诺在一线段上不断取中点就预设了线段可被有穷分割为其本身不可再被分割的若干点.正如“芝诺悖论使用的是反证法,他不是从正面论证“一”,而是假定“一”的反面“多”,假定空间和时间可以分割,由此推论出与经验矛盾的结论”.也即是说芝诺预设了空间分割的终极单位点的存在,并且其本身不可再被分割,因为这些点如果能被再分割就不成其为“点”而是成为“段”了.同时,这些点是有大小的,或者说这些点是占据了一定空间的,因为本身无大小不占据任何空间的东西不具有实际存在性,而那条线段显然不能被分割为一些本身不具实际存在性的东西.现在考虑芝诺论证中那不断向起始点A靠近的中点,由于无限靠近A,那中点与A的距离越来越小.可以想象,在某一情况下那中点与A的距离小到刚好就等于一个点本身的大小.这不仅是可能的,而且是必然的,因为如果那距离还大于一个点,那它就可以而且必然被下一个中点继续分割.但是,当那距离就等于一个点本身的大小时,那距离是不能再被分割了,因为它本身就是一个点!此时的起始点与中点之间再没有任何下一中点来“阻隔”了.也就说,芝诺论证中的中点倒退过程不是无限的,而必然是有限的.那么从直接到达这有限过程中的最接近起始点A的那一中点开始,运动就开始了.看来,二分法论证并不能否定运动,也即得不出与经验有悖的结论.芝诺期待的反证结论——世界乃“一”而非“多”——也是不可得的.
【推翻二分法悖论】
这个悖论其实根本不是什么悖论,那只是一个错误的命题.因为出悖论的人只想到,二分之一的分下去,物体永远达不到D点,但那人没有想到,物体自身还存在着长度,如果物体的长度永远小于无限分下去的二分之一,那么物体就可能永远也达不到D点.但问题是,当物体自身的长度大于分的过程中的某个二分之一的时候,物体就可以到达D点了.