令A+B={a+b|a∈A,b∈B}求证：sup(A+B)=supA+supB(sup是上确界)

Question

令A+B={a+b|a∈A,b∈B} 求证：sup(A+B)=sup A + sup B (sup是上确界)

Answer 1

（1）对任意a∈A,有a≤supA ; 对任意b∈B,有b≤supB,
则对任意a+b∈A+B,有a+b≤supA+supB,即supA+supB是A+B的一个上界,
则sup(A+B)≤sup A + sup B
（2）对任意ε>0,A中存在a'>supA-ε/2（由上确界定义可得） ,B中存在 b'>supB-ε/2（同上）
即A+B中存在a'+b'>(supA+supB)-ε , 即supA+supB是A+B的最小上界
综上所述,sup(A+B)=supA+supB.
证毕.
其实,证明中你要理解不一定非得减去ε/2,只要保证a和b减去的数的和为ε就可以的.用ε/2来证明只是更方便和典型一些.