已知数列{an}的前n项和为Sn，S1=6，S2=4，Sn>0．且S2n，S2n+1，S2n+2成等比数列，S2n-1，S2n+2，S2n+1成等比数列．则a2016等于（）A.-1008B.-1009C.10082D.10092

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁=6，S₂=4，S_n>0．且S_2n，S_2n+1，S_2n+2成等比数列，S_2n-1，S_2n+2，S_2n+1成等比数列．则a₂₀₁₆等于（　　）

A. -1008

B. -1009

C. 1008²

D. 1009²

Answer 1

∵S_2n，S_2n+1，S_2n+2成等比数列，S_2n-1，S_2n+2，S_2n+1成等比数列，
∴S_2n+1²=S_2n•S_2n+2，2S_2n+2=S_2n-1+S_2n+1，
∵S_n>0．
∴2S_2n+2=（S_2n•S_2n+2） (1)/(2)+（S_2n+2•S_2n+4） (1)/(2)，
∴2√(S2n+2)=√(S2n)+√(S2n+4)，
∴数列{√(S2n)}为等差数列，
由S₁=6，S₂=4，可得S₃=12，S₄=9，
∴数列{√(S2n)}是以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴√(S2n)=2+（n-1）=n+1，
∴S_2n=（n+1）²，
∴S_2n-1=（n+1）（n+2），
∴S₂₀₁₆=（1008+1）²=1009²，S₂₀₁₅=1009×1010，
∴a₂₀₁₆=S₂₀₁₆-S₂₀₁₅=-1009．
故选：B．