如图，过函数f（x）=logcx（c＞1）的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）=logmx，（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC与x轴平行．（1）当

Question

如图，过函数f（x）=log_cx（c＞1）的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）=log_mx，（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC与x轴平行．
（1）当a=2，b=4，c=3时，求实数m的值；
（2）当b=a²时，求(m)/(b)−(2c)/(a)的最小值；
（3）已知h（x）=a^x，φ（x）=b^x，若x₁，x₂为区间（a，b）内任意两个变量，且x₁＜x₂，求证：h[f（x₂）]＜φ[f（x₁）]．

Answer 1

（1）由题意得A（2，log₃2），B（4，log₃4），C（4，log_m4）
因为AC与x轴平行
所以log_m4=log₃2
所以m=9
（2）由题意得A（a，log_ca），B（b，log_cb），C（b，log_mb）
因为AC与x轴平行
所以log_mb=log_ca
因为b=a²，所以m=c²
所以(m)/(b)−(2c)/(a)＝(c2)/(a2)−(2c)/(a)＝((c)/(a)−1)2−1
所以(c)/(a)＝1时，达到最小值-1
（3）证明：因为a＜x₁＜x₂＜b，且c＞1
所以log_ca＜log_cx₁＜log_cx₂＜log_cb
又因为a＞1，b＞1
所以alogcx2＜alogcb，blogca＜blogcx1
又因为log_cblog_ca=log_calog_cb
所以logcalogcb＝logcblogca
所以alogcb＝blogca
所以alogcx2＜blogcx1
即h[f（x₂）]＜φ[f（x₁）]．