已知：点D为正方形ABCD和正方形DEFG的公共顶点，记∠ADG=α，且0°≤α≤180°（1）当α=0°，即点A在DG边上时，如图，求证：AG=CE且S△ABG=S△CBE；（2）当α≠0°，且A，B，G三点不共线时，如图2，

Question

已知：点D为正方形ABCD和正方形DEFG的公共顶点，记∠ADG=α，且0°≤α≤180°
（1）当α=0°，即点A在DG边上时，如图，求证：AG=CE且S_△ABG=S_△CBE；
（2）当α≠0°，且A，B，G三点不共线时，如图2，问（1）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明；若不成立，请举反例；
（3）已知当α在变化过程中时，△ABG的面积存在最大值，若DA=2，DG=5．请你直接写出△ABG面积的最大值，并画出此时的示意图．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，
∴AD=DC，AB=BC，GD=ED，∠GAB=∠BCE=90°．
∴GD-AD=ED-DC，即AG=CE．
∵S△ABG=(1)/(2)AB•AG，S△BCE=(1)/(2)BC•CE，
∴S_△ABG=S_△BCE．
（2）成立．
如图2，过点G作GM⊥BA，垂足为M，过点E作EN⊥BC，垂足为N．

∵∠GDA+∠ADE=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠GAD=∠EDC．
在△GDA和△EDC中，

GD=ED

∠GDA=∠EDC

DA=DC

，
∴△GDA≌△EDC．
∴AG=CE，∠GAD=∠ECD．
∴∠GAD-∠MAD=∠ECD-∠DCB，即∠GAM=∠CEN．
在△AGM和△CEN中，

∠GAM=∠CEN

∠GMA=∠CNE

AG=CE

，
∴△AGM≌△CEN．
∴MG=NE．
∴(1)/(2)AB•MG=(1)/(2)BC•EN，即S_△ABG=S_△BCE．
（3）如图3所示；

当α=180°时，△ABG的面积有最大值．
S△ABG=(1)/(2)AB•AG=(1)/(2)×2×7=7．