已知点F1、F2为双曲线C：x2-y2b2=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的

Question

已知点F₁、F₂为双曲线C：x²-(y2)/(b2)=1的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF₁F₂=30°．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P₁、P₂，求

PP1

•

PP2

的值．

Answer 1

（1）设F₂，M的坐标分别为(√(1+b2)，0)，(√(1+b2)，y0)，
因为点M在双曲线C上，所以1+b2−(y02)/(b2)＝1，即y0＝±b2，所以|MF2|＝b2，
在Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2…（3分）
由双曲线的定义可知：|MF1|−|MF2|＝b2＝2
故双曲线C的方程为：x2−(y2)/(2)＝1…（6分）
（2）由条件可知：两条渐近线分别为l1：√(2)x−y＝0；l2：√(2)x+y＝0…（8分）
设双曲线C上的点Q（x₀，y₀），设两渐近线的夹角为θ，
则点Q到两条渐近线的距离分别为|PP1|＝(|√(2)x0−y0|)/(√(3))，|PP2|＝(|√(2)x0+y0|)/(√(3))，…（11分）
因为Q（x₀，y₀）在双曲线C：x2−(y2)/(2)＝1上，
所以2x02−y02＝2，又cosθ＝(1)/(3)，
所以

PP1

•

PP2

=(|√(2)x0−y0|)/(√(3))•(|√(2)x0+y0|)/(√(3))cosθ＝(|2x02−y02|)/(3)•(1)/(3)＝(2)/(9)…（14分）