如图，设P是抛物线C1：x2=y上的动点．过点P做圆C2：x2+（y+3）2=1的两条切线，交直线l：y=-3于A，B两点。（1）求C2的圆心M到抛物线C1准线的距离；（2）是否存在点P，使

Question

如图，设P是抛物线C ₁ ：x ² =y上的动点．过点P做圆C ₂ ：x ² +（y+3） ² =1的两条切线，交直线l：y=-3于A，B两点。

（1）求C ₂ 的圆心M到抛物线C ₁ 准线的距离；
（2）是否存在点P，使线段AB被抛物线C ₁ 在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）由题意可知，抛物线C ₁ 的准线方程为：
所以圆心M到抛物线C ₁ 准线的距离为 ；
（2）设点P的坐标为（x ₀ ，x ₀ ² ），抛物线C ₁ 在点P处的切线交直线l于点D
再设A，B，D的横坐标分别为
过点P（x ₀ ，x ₀ ² ）的抛物线C ₁ 的切线方程为：   （1）
当 时，过点P（1，1）与圆C ₂ 的切线PA为：
可得
所以
设切线PA，PB的斜率为 ，则
   （2）
  （3）
将 分别代入（1），（2），（3），得

从而
又
即
同理
所以 是方程 的两个不相等的根，从而
，
因为
所以 ，即
从而
进而得
综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为（ ， ）。