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双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍,则该双曲线离心率的范围为.

题目详情
双曲线
x2
a2
y2
b2
=1(a>b>0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍,则该双曲线离心率的范围为______.
▼优质解答
答案和解析
由题意,设P到右准线距离为d,则d≥a-
a2
c

根据第二定义,可得P到右焦点的距离为ed,
∵右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍,
∴P到左焦点的距离为6d,
∴6d-ed=2a,
∴d=
2a
6−e
(e<6),
2a
6−e
≥a-
a2
c

2
6−e
≥1−
1
e

∴e2-5e+6≥0,
∴e≤2或e≥3,
∵1<e<6,
∴1<e≤2或3≤e<6.
故答案为:1<e≤2或3≤e<6.
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