双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞b＞0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为．

Question

双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为______．

Answer 1

由题意，设P到右准线距离为d，则d≥a-(a2)/(c)．
根据第二定义，可得P到右焦点的距离为ed，
∵右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，
∴P到左焦点的距离为6d，
∴6d-ed=2a，
∴d=(2a)/(6−e)（e＜6），
∴(2a)/(6−e)≥a-(a2)/(c)，
∴(2)/(6−e)≥1−(1)/(e)，
∴e²-5e+6≥0，
∴e≤2或e≥3，
∵1＜e＜6，
∴1＜e≤2或3≤e＜6．
故答案为：1＜e≤2或3≤e＜6．