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试证明xD(x)仅在x=0出连续
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试证明xD(x)仅在x=0出连续
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答案和解析
令g(x)=xD(x).显然g(0)=0.
另外,因为D(X) 是一个有界函数,当x-->0时,x是一个无穷小量,而无穷小量与有界量之积还是无穷小量,所以lim(x->0)g(x)=xD(x)=0=g(0).即函数xD(x)在x=0处是连续的.
对于任意的不等于0的x0,由迪利克雷函数的定义不难知道lim(x->x0)D(x)是不存在的,
所以lim(x->x0)xD(x)也不存在,故函数g(x)在x0不连续.
以上说明函数xD(x)只有x=0处连续.
另外,因为D(X) 是一个有界函数,当x-->0时,x是一个无穷小量,而无穷小量与有界量之积还是无穷小量,所以lim(x->0)g(x)=xD(x)=0=g(0).即函数xD(x)在x=0处是连续的.
对于任意的不等于0的x0,由迪利克雷函数的定义不难知道lim(x->x0)D(x)是不存在的,
所以lim(x->x0)xD(x)也不存在,故函数g(x)在x0不连续.
以上说明函数xD(x)只有x=0处连续.
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