证明在区间（—∞,+∞）内,方程|x|^(1/4)+|x|^(1/2)-cosx=0有且仅有两个实数根

Question

证明在区间（—∞,+∞）内,方程|x|^(1/4)+|x|^(1/2)-cosx=0有且仅有两个实数根

Answer 1

t=|x|^(1/2)>=0,|x|=t^2
因为cosx为偶函数,cosx=cos|x|=cost^2
f(t)=t^2+t-cost^2
f'(t)=2t+1+2tsint^2=1+2t(1+sint^2)
因为t>=0,1+sint^2>=0,
所以f'(t)>=1,因此函数单调增,f(t)至多只有一个零点
又f(0)=-1,f(1)=2-cos1>0
因此f(t)零点在(0,1)之间.
所以由对称性,原方程有两个互为相反数的零点,分别在（0,1）与（-1,0）区间.