A,B为n×n的矩阵,A的平方=A=AB.证明：B的平方=B=BA当且仅当rank(A)=rank(B)

Question

A,B为n×n的矩阵,A的平方=A=AB.证明：B的平方=B=BA 当且仅当 rank(A) = rank(B)

Answer 1

当 A, B=0时, 显然成立.
正方向, 如果B^2=B=BA, A^2=A=AB,
rank(B)= rank(BA)≤ rankA (Sylvester's rank inequality), rank(A)=rank(AB)≤ rank(B)
这说明 rank(A)=rank(B)
反方向, 如果rank(A)=rank(B), 因为A^2=A=AB,(B)A=BA^2=(BA)A,所以 B=BA,B^2=(BA)^2=BA(BA)=BAB=B(AB)=BA=B,所以 B^2=B=BA