已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：cosαsinα+sin3α＝1+α24α．

Question

已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：(cosα)/(sinα+sin3α)＝(1+α2)/(4α)．

Answer 1

作出函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）的图象，如图所示，要使两个函数有且仅有三个交点，
则由图象可知，直线在（π，(3π)/(2)）内与f（x）相切．设切点为A（α，-sinα），
当x∈（π，(3π)/(2)）时，f（x）=|sinx|=-sinx，
此时f'（x）=-cosx，x∈（π，(3π)/(2)）．
所以−cosα＝−(sinα)/(α)，即α=tanα，
所以(cosα)/(sinα+sin3α)=(cosα)/(2sin2αcosα)＝(cosα)/(4sinαcosα)
=(cos2α+sin2α)/(4sinαcosα)=(1+tan2α)/(4tanα)=(1+α2)/(4α)．
所以等式成立．