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设幂级数在负无穷到正无穷内收敛，其和函数y（x）幂级数为∑anxn，且和函数y″-2xy′-4y=0，y（0）=0，y′（0）=1（1）证明：an+2=2ann+1，n=1，2，3，…（2）求y（x）的表达式．
题目详情
设幂级数在负无穷到正无穷内收敛，其和函数y（x）幂级数为∑anxn，且和函数y″-2xy′-4y=0，y（0）=0，y′（0）=1
（1）证明：an+2=
，n=1，2，3，…
（2）求y（x）的表达式．
（1）证明：an+2=
| 2an |
| n+1 |
（2）求y（x）的表达式．
▼优质解答
答案和解析
证明：
（1）
由：y(x)＝
anxn，
得：y′(x)＝
nanxn−1，y″(x)＝
n(n−1)anxn−2＝
(n+2)(n+1)an+2xn，
而和函数y（x）满足给定的微分方程，
于是代入y″-2xy′-4y=0，得：
(n+2)(n+1)an+2xn−2x
nanxn−1−4
anxn＝0，
比较xn的系数可得：
（n+2）（n+1）an+2-2nan-4an=0，
化简即得：an+2＝
，n=1，2，3，…，证毕．
（2）
由y（0）=0，y′（0）=1，
可得到：a0=0，a1=1，
由（1）知：an+2＝
，
可以得出an的表达式为：an＝
，
因此：
y(x)＝x+x3+
（1）
由：y(x)＝
| ∞ |
 |
| n＝0 |
得：y′(x)＝
| ∞ |
|
| n＝1 |
| ∞ |
|
| n＝2 |
| ∞ |
|
| n＝0 |
而和函数y（x）满足给定的微分方程，
于是代入y″-2xy′-4y=0，得：
| ∞ |
|
| n＝0 |
| ∞ |
|
| n＝1 |
| ∞ |
|
| n＝0 |
比较xn的系数可得：
（n+2）（n+1）an+2-2nan-4an=0，
化简即得：an+2＝
| 2an |
| n+1 |
（2）
由y（0）=0，y′（0）=1，
可得到：a0=0，a1=1，
由（1）知：an+2＝
| 2an |
| n+1 |
可以得出an的表达式为：an＝
|
因此：
y(x)＝x+x3+
| x
|
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