一道微积分证明题limn(x^1/n-1)=lnx,有提示是设y=x^1/n-1,再利用lim(1+y)^1/y=e(y趋向于0)来证明,想了很久,就是不知道该怎样证明,

Question

一道微积分证明题
limn(x^1/n-1)=lnx,有提示是设y=x^1/n-1,再利用lim(1+y)^1/y=e(y趋向于0)来证明,想了很久,就是不知道该怎样证明,

Answer 1

设y=x^1/n-1
==>x=(1+y)^n
==>n=ln(x)/ln(1+y)
Limn (x^1/n-1)
=Lim ln(x)/ln(1+y)*y (y-->0)
=Lim y/ln(1+y)*ln(x) (y-->0)
=Lim 1/(1/(1+y))*ln(x) (y-->0)(洛必达法则)
=Lim (1+y)*ln(x) (y-->0)
=ln(x)