若X^2+2y^2+3z^2=21上M处的切平面过直线(x-6)/2=(y-3)/1=(z-1)/-2,则M=

Question

若X^2+2y^2+3z^2=21上M处的切平面过直线(x-6)/2=(y-3)/1=(z-1)/-2,则M=

Answer 1

若X²+2y²+3z²=21上M处的切平面过直线L：(x-6)/2=(y-3)/1=(z-1)/(-2),则M=
设曲面F(x,y,z)=X²+2y²+3z²-21=0上的点M的坐标为(xo,yo,zo);
M在曲面上,因此满足曲面方程 xo²+2yo²+3zo²=21.(1)
∂F/∂x=2x；∂F/∂y=4y；∂F/∂z=6z；因此过M的切平面方程为：
2xo(x-xo)+4yo(y-yo)+6zo(z-zo)=0,即有xox+2yoy+3zoz-(xo²+2yo²+3zo²)=0
将(1)代入得过M的切平面方程为：xox+2yoy+3zoz-21=0.(2)
切平面的法向矢量n={xo,2yo,3zo};
直线L的方向数m={2,1,-2}
n⊥m,故n•m=2xo+2yo-6z0=0.(3)
令(x-6)/2=(y-3)/1=(z-1)/(-2)=t,
则得直线L的参数方程为：x=2t+6,y=t+3,z=-2t+1；
L在切平面内,因此必满足(2)式：
xo(2t+6)+2yo(t+3)+3zo(-2t+1)-21
=2xot+2yot-6zot+6xo+6yo+3zo-21
=(2xo+2yo-6zo)t+6xo+6yo+3zo-21=0
将(3)代入并化小系数得2xo+2yo+zo-7=0.(4)
(1)(3)(4)三式联立求
(3)-(4)得-7zo+7=0,得zo=1；
将zo=1代入(3)式得xo+yo-3=0.(5)
再将zo=1代入(1)式得xo²+2yo²-18=0.(6)
由(5)得yo=3-xo,代入(6)式得xo²+2(3-xo)²-18=3xo²-12xo=3xo(xo-4)=0,故xo=0或xo=4；
将xo=0代入(5)时得yo=3；再将xo=4代入(5)式得yo=-1；
因此M的坐标为(0,3,1)或(4,-1,1).