已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若|AB|=|AC|，则AB•AC的最小值是．

Question

已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若|

AB

|=|

AC

|，则

AB

•

AC

的最小值是 ___ ．

Answer 1

如图所示，取

OA

=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．
∵|

AB

|=|

AC

|，∴C（cosθ，-sinθ）．
∴

AB

•

AC

=（cosθ-1，sinθ）•（cosθ-1，-sinθ）
=（cosθ-1）²-sin²θ
=2(cosθ-(1)/(2))2-(1)/(2)，
当且仅当cosθ=(1)/(2)，即θ=(π)/(3)时，上式取得最小值-(1)/(2)．
即

AB

•

AC

的最小值是-(1)/(2)．
故答案为：-(1)/(2)．