（2013•崂山区模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=6，AB=8，BC=10，直线EF从AD出发，以每秒1个单位的速度向BC运动，并始终保持与AD平行，交AB于点E，交DC于点F，同时点P从点C出发，

Question

（2013•崂山区模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=6，AB=8，BC=10，直线EF从AD出发，以每秒1个单位的速度向BC运动，并始终保持与AD平行，交AB于点E，交DC于点F，同时点P从点C出发，沿CB方向以每秒2个单位的速度向点B运动．当点P运动到点B时停止运动，直线EF也随之停止运动；连接PE，设运动时间为t秒（0≤t≤5），解答以下问题：
（1）当t为何值时，△BEP是等腰直角三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使PE∥CD？
（3）连接PF，设△PEF的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使△PEF的面积是梯形面积的(1)/(4)？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵AE=t，PC=2t，
∴BE=AB-AE=8-t，BP=BC-PC=10-2t，
当BE=BP时，△BEP是等腰直角三角形，则8-t=10-2t，解得t=2，
即当t=2时，△BEP是等腰直角三角；
（2）存在．
作DH⊥BC于H，交EF于G，如图，则DG=AE=t，EG=BH=AD=6，DH=AB=8，
所以CH=BC-BH=4，
∵GF∥BC，
∴△DGF∽△DHC，
∴(GF)/(HC)=(DG)/(DH)，即(GF)/(4)=(t)/(8)，
∴GF=(1)/(2)t，
∴EF=EG+GF=6+(1)/(2)t，
∵EF∥PC，
∴当EF=PC时，四边形EPCF为平行四边形，则有PE∥CD，
即6+(1)/(2)t=2t，解得t=4，
即当t=4时，使PE∥CD；
（3）∵EF=6+(1)/(2)t，BE=8-t，
∴S=(1)/(2)•（6+(1)/(2)t）（8-t）
=-(1)/(4)t²-t+24（0≤t≤5）；
（4）存在．
当△PEF的面积是梯形面积的(1)/(4)时，则-(1)/(4)t²-t+24=(1)/(4)×(1)/(2)×（6+10）×8，
整理得t²+4t-32=0，
解得t₁=4，t₂=-8（舍去），
所以存在t=4，使△PEF的面积是梯形面积的(1)/(4)．